Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的頂點在原點，直線y= x+4的圖象與該二次函數的圖象交于點A（m，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．

（1）求這個二次函數的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象的交于點D，與x軸交于點E，設線段PD長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P．使得以點P，E，B為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（m，8）在直線y= x+4上，

∴ m+4=8，解得m=8，

∴A（8，8），

∵拋物線過原點，

∴可設二次函數的解析式為y=ax2（a≠0），

∵A（8，8）在y=ax2圖象上，

∴8=a×82，解得a= ，

∴二次函數的解析式為y= x2，

∵直線y=x+4與y軸交于點B，

∴令x=0時可得y=4，即B（0，4）

（2）

解：∵P點在y= x+4上，且橫坐標為t，

∴P（t， t+4），

又PD⊥X軸于E，

∴D（t， ），E（t，0），

∵PD=h=PE﹣DE=（ t+4）﹣ ，

∴h=﹣ + t+4，

∵P與A，B不重合且在線段上，

∴0＜t＜8，

即h與t的函數關系式為h=﹣ + t+4（0＜t＜8）

（3）

解：設E（n，0）（0＜n＜8），則P（n， n+4），且B（0，4），

∴PB= = n，PE= n+4，BE= = ，

若△PEB為等腰三角形，則有PB=PE、PB=BE或PE=BE三種情況，

① 當PB=PE時，則有 n= n+4，解得n=2 +2，此時P點坐標為（2 +2， +5）；

②當PB=BE時，則有 n= ，解得n=8（此時P與A重合，不合題意，舍去）或n=﹣8＜0舍去；

③當PE=BE時，則有 n+4= ，解得n=0（舍去）或n= ，此時P點坐標為（ ， ）；

綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（2 +2， +5）或（ ， ）

【解析】（1）把A點坐標代入直線解析式，可求得m的值，可求得A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，結合直線解析式可求得B點坐標；（2）由直線和拋物線解析式可分別用t表示出P、D的坐標，則可表示出PD的長，即找到h與t的關系式，由點P在線段AB上可確定出t的取值范圍；（3）可設E點坐標為（n，0），則可用n表示出P點坐標，從而可表示出PB、PE、BE的長度，當△PEB為等腰三角形時，則有PB=PE、PB=BE或PE=BE三種情況，分別可得到關于n的方程，可求得n的值，則可求得P點坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．