Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，點D在y軸上，點E在x軸上，在△ABC中，點A，C在x軸上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求畫圖（保留作圖痕跡）：

（1）將△ODE繞O點按逆時針方向旋轉90°得到△OMN（其中點D的對應點為點M，點E的對應點為點N），畫出△OMN；
（2）將△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′（其中點A，B，C的對應點分別為點A′，B′，C′），使得B′C′與（1）中的△OMN的邊NM重合；
（3）求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△OMN如圖所示；

（2）

解：△A′B′C′如圖所示；

（3）

解：設OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點F，

由作圖可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，

所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，

∵A′C′=AC=5，

∴A′F= =4，

∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，

在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2，

解得x=6，

即OE=6．

【解析】（1）以點O為圓心，以OE為半徑畫弧，與y軸正半軸相交于點N，以OD為半徑畫弧，與x軸負半軸相交于點M，連接MN即可；（2）以M為圓心，以AC長為半徑畫弧與x軸負半軸相交于點A′，B′與N重合，C′與M重合，然后順次連接即可；（3）設OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點F，判斷出B′C′平分∠A′B′O，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等和角平分線的對稱性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．