Question

【題目】如圖，已知點A的坐標是（﹣1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線．

（1）求點C的坐標及拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，求點D的坐標；并直接寫出直線BC、直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴ ．

又∵A（﹣1，0），B（9，0），

∴ ，

解得OC=3（負值舍去）．

∴C（0，﹣3），

故設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣9），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a= ，

∴二次函數的解析式為y= （x+1）（x﹣9），

即y= x2﹣ x﹣3

（2）解：∵AB為O′的直徑，且A（﹣1，0），B（9，0），

∴OO′=4，O′（4，0），

∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，

∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°，

連接O′D交BC于點M，

則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5．

∴O′D⊥x軸

∴D（4，﹣5）．

∴設直線BD的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得

∴直線BD的解析式為y=x﹣9．

∵C（0，﹣3），

設直線BC的解析式為：y=ax+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y= x﹣3

（3）．解：假設在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD，

解法一：設射線DP交⊙O′于點Q，則 = ．

分兩種情況（如圖所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉90°，使點D與點B重合，則點C與點Q1重合，

因此，點Q1（7，﹣4）符合 = ，

∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），

∴用待定系數法可求出直線DQ1解析式為y= x﹣ ．

解方程組

得

∴點P1坐標為（ ， ），坐標為（ ， ）不符合題意，舍去．

②∵Q1（7，﹣4），

∴點Q1關于x軸對稱的點的坐標為Q2（7，4）也符合 = ．

∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．

∴用待定系數法可求出直線DQ2解析式為y=3x﹣17．

解方程組

得 ，

即

∴點P2坐標為（14，25），坐標為（3，﹣8）不符合題意，舍去．

∴符合條件的點P有兩個：P1（ ， ），P2（14，25）．

解法二：分兩種情況（如圖所示）：

①當DP1∥CB時，能使∠PDB=∠CBD．

∵B（9，0），C（0，﹣3）．

∴用待定系數法可求出直線BC解析式為y= x﹣3．

又∵DP1∥CB，

∴設直線DP1的解析式為y= x+n．

把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ ，

∴直線DP1解析式為y= x﹣ ．

解方程組

得

∴點P1坐標為（ ， ）或（ ， ）（不符合題意舍去）．

②在線段O′B上取一點N，使BN=DM時，得△NBD≌△MDB（SAS），

∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直線BC解析式為y= x﹣3．

取x=4，得y=﹣ ，

∴M（4，﹣ ），

∴O′N=O′M= ，

∴N（ ，0），

又∵D（4，﹣5），

∴直線DN解析式為y=3x﹣17．

解方程組

得 ，

∴點P2坐標為（14，25），坐標為（3，﹣8）不符合題意，舍去．

∴符合條件的點P有兩個：P1（ ， ），P2（14，25）．

解法三：分兩種情況（如圖所示）：

①求點P1坐標同解法二．

②過C點作BD的平行線，交圓O′于G，

此時，∠GDB=∠GCB=∠CBD．

由（2）題知直線BD的解析式為y=x﹣9，

又∵C（0，﹣3）

∴可求得CG的解析式為y=x﹣3，

設G（m，m﹣3），作GH⊥x軸交于x軸與H，

連接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，

由D（4，﹣5）與G（7，4）可得，

DG的解析式為y=3x﹣17，

解方程組

得 ，

即

∴點P2坐標為（14，25），坐標為（3，﹣8）不符合題意舍去．

∴符合條件的點P有兩個：P1（ ， ），P2（14，25）．

【解析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角，及同角的余角相等可以得出∠OCA=∠OBC ，又∠AOC=∠COB=90°，從而判斷出△AOC∽△COB，根據相似三角形對應邊成比例得出：OA∶OC＝OC∶OB ；已知了A、B兩點的坐標即可得出OA、OB的長，因此求出OC的長，即可得出C點的坐標．然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據AB為O′的直徑，且A（﹣1，0），B（9，0），從而得出OO′=4，O′（4，0），根據角平分線的定義得出∠BCD的度數 ；如果連接O′D，那么根據圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標為（4，-5）．根據B、D兩點的坐標即可用待定系數法求出直線BD的解析式；根據B、C兩點的坐標即可用待定系數法求出直線BC的解析式 ；
（3）本題要分兩種情況進行討論：
解法一：設射線DP交⊙O′于點Q，則 弧BQ=弧CD．

①根據O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

故把點C、D繞點O′逆時針旋轉90°，使點D與點B重合，則點C與點Q1重合，從而得出點Q1（7，﹣4）符合弧BQ與弧CD相等，根據D,Q1的坐標用待定系數法去除直線DQ1的解析式，然后解直線DQ1與拋物線的解析式聯立的方程組求出P1點的坐標，然后判定是否符合題意；
②由于Q1（7，﹣4），故點Q1關于x軸對稱的點的坐標為Q2（7，4）也符合弧BQ與弧CD相等，根據D,Q2的坐標用待定系數法求出直線DQ2的解析式，然后解直線DQ2與拋物線的解析式聯立的方程組求出P2點的坐標，然后判定是否符合題意 ；
解法二：
①當DP1∥CB時，能使∠PDB=∠CBD．由于B（9，0），C（0，﹣3）．故用待定系數法可求出直線BC解析式 ；又DP1∥CB，及D（4，﹣5）求出直線DP1解析式為 ；然后解直線DP1與拋物線的解析式聯立的方程組求出P1點的坐標，然后判定是否符合題意 ；
②在線段O′B上取一點N，使BN=DM時，得△NBD≌△MDB（SAS），∠NDB=∠CBD．根據直線BC的解析式，得出M的坐標，進而得出N點的坐標，從而得出直線DN的解析式，解直線DN的解析式與拋物線的解析式聯立的方程組求出P2點的坐標，然后判定是否符合題意 ；
解法三 ：

①求點P1坐標同解法二．

②過C點作BD的平行線，交圓O′于G，此時，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）題知直線BD的解析式為y=x﹣9，又C（0，﹣3）故可求得CG的解析式為，

設G（m，m﹣3），作GH⊥x軸交于x軸與H，連接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）與G（7，4）可得，DG的解析式；解直線DG的解析式與拋物線的解析式聯立的方程組求出P2點的坐標，然后判定是否符合題意 。