Question

【題目】已知兩個等腰直角△ABC和△CDE，它們的兩個直角頂點B、D在直線MN上，過點A、E分別作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分別為G、F．

(1)如圖1，當△ABC和△CDE在△BCD的外部時，請你探索線段EF、DB、AG之間的數量關系，其數量關系為______．

(2)如圖2，將圖1中的△ABC沿BC翻折，其他條件不變，那么(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請你給出證明，若不成立，請探索它們的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)BD＝EF+AG；(2)成立，證明見解析．

【解析】

（1）結論：BD=EF+AG．只要證明△FDE≌△HCD（AAS），可得EF=DH，同理可證：△BHC≌△AGB，可得AG=BH，即可解決問題；
（2）結論不變，證明方法類似；

解：(1)結論：BD＝EF+AG．

理由：如圖1中，作CH⊥MN于H．

∵EF⊥MN，AG⊥MN，

∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，

∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠EDF＝∠DCH，

∵DE＝DC，

∴△FDE≌△HCD(AAS)，

∴EF＝DH，

同理可證：△BHC≌△AGB，

∴AG＝BH，

∴BD＝EF+AG．

故答案為BD＝EF+AG．

(2)結論成立．

理由：如圖2中，作CH⊥MN于H．

∵EF⊥MN，AG⊥MN，

∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，

∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠EDF＝∠DCH，

∵DE＝DC，

∴△FDE≌△HCD(AAS)，

∴EF＝DH，

同理可證：△BHC≌△AGB，

∴AG＝BH，

∴BD＝EF+AG．

故答案為BD＝EF+AG．