Question

【題目】如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，取BC的中點P．當點B從點O向x軸正半軸移動到點M（2，0）時，則點P移動的路線長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖所示，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，則∠DPE=90°，∠AEP=∠BDP=90°，
連接AP，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP= BC=BP，且AP⊥BC，即∠APB=90°，
∴∠APE=∠BPD，
在△AEP和△BDP中，
，
∴△AEP≌△BDP（AAS），
∴PE=PD，
∴點P的運動路徑是∠AOM的角平分線，
如圖所示，當點B與點O重合時，AB=AO=1，OC= ，
∴OP= OC= ；

如圖所示，當點B與點M重合時，過P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，連接OP，

由△AEP≌△BDP，可得AE=BD，
設AE=BD=x，則OE=1+x，OD=2﹣x，
∵矩形ODPE中，PE=PD，
∴四邊形ODPE是正方形，
∴OD=OE，即2﹣x=1+x，
解得x= ，
∴OD=2﹣ = ，
∴等腰Rt△OPD中，OP= OD= ，
∴當點B從點O向x軸正半軸移動到點M時，則點P移動的路線長為 ﹣ = ．
所以答案是： ．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和角的平分線判定是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點(交于一點)．