Question

【題目】如圖所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共頂點A,∠EAF＝90°, 連接BE、DF.將Rt△AEF繞點A旋轉,在旋轉過程中，BE、DF具有怎樣的數量關系和位置關系？結合圖(1)給予證明；

(2)將（1）中的正方形ABCD變為矩形ABCD，等腰Rt△AEF變為Rt△AEF，且AD＝kAB,AF＝kAE,其他條件不變.(1)中的結論是否發生變化？結合圖(2)說明理由；

(3)將（2）中的矩形ABCD變為平行四邊形ABCD，將Rt△AEF變為△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝，其他條件不變.(2)中的結論是否發生變化？結合圖(3)，如果不變，直接寫出結論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數量關系，用表示出直線BE、DF形成的銳角.

Answer 1

【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，證明見解析；（2）數量關系改變，位置關系不變，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改變．DF=kBE，β=180°-α

【解析】試題分析：（1）根據旋轉的過程中線段的長度不變，得到AF=AE，又∠BAE與∠DAF都與∠BAF互余，所以∠BA E=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE與DF相等，延長DF交BE于G，根據全等三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因為矩形的鄰邊不相等，但根據題意，可以得到對應邊成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=kBE，同理，根據相似三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；

（3）與（2）的證明方法相同，但根據相似三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°，所以DF與BE的夾角β=180°-α．

試題解析：（1）DF與BE互相垂直且相等．

證明：延長DF分別交AB、BE于點P、G

在正方形ABCD和等腰直角△AEF中

AD=AB，AF=AE，

∠BAD=∠EAF=90°

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD≌△EAB（2分）

∴∠AFD=∠AEB，DF="BE"

∵∠AFD+∠AFG=180°，

∴∠AEG+∠AFG=180°，

∵∠EAF=90°，

∴DF⊥BE

（2）數量關系改變，位置關系不變．DF=kBE，DF⊥BE．

延長DF交EB于點H，

∵AD=kAB，AF="kAE"

∴,

∴

∵∠BAD=∠EAF="a"

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF="kBE"

∵△FAD∽△EAB，

∴∠AFD=∠AEB，

∵∠AFD+∠AFH=180°，

∴∠AEH+∠AFH=180°，

∵∠EAF=90°，

∴∠EHF=180°-90°=90°，

∴DF⊥BE

（3）不改變．DF=kBE，β=180°-a．

延長DF交EB的延長線于點H，

∵AD=kAB，AF="kAE"

∴,

∴

∵∠BAD=∠EAF="a"

∴∠FAD=∠EAB

∴△FAD∽△EAB

∴

∴DF=kBE

由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB

∵∠AFD+∠AFH=180°

∴∠AEB+∠AFH=180°

∵四邊形AEHF的內角和為360°，

∴∠EAF+∠EHF=180°

∵∠EAF=α，∠EHF=β

∴a+β=180°∴β=180°-a