Question

如圖所示，直線AB交x軸于點A，交y軸于點B，點C、E在直線AB上，過點C作直線AB的垂線交y軸于點D，且OD=CD=CE．點C的坐標為（a，b），a、b（a＞b）是方程x²-12x+32=0的解．
（1）求DC的長；
（2）求直線AB的解析式；
（3）在x軸的正半軸上是否存在點Q，使△OCB和△OCQ相似？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解方程x²-12x+32=0得：
x₁=8，x₂=4，
∴C點坐標是（8，4），
過C作CF⊥y軸于F，
在Rt△DFC中，設DO=CO=y，則DF=y-4，CF=8，由勾股定理得：
（y-4）²+8²=y²，
解得：y=10，
即DC=10；

（2）過點E作EN⊥OA交射線FC于點N，交射線AO與H，則NH=4，
易證△DFC≌△CNE，得CN=DF=6，EN=FC=8，
∴E點坐標是（14，12），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把C（8，4），E（14，12）代入得：

12=14k+b 4=8k+b

，
解得：

k= 4 3 b=- 20 3

，
∴y_AB=

4

3

x-

20

3

；

（3）存在，
Q₁（

40

3

，0），Q₂（6，0）．