Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動點P，連接PD，線段PD繞點P順時針旋轉90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，連接DF，過點E作EQ⊥AB的延長線于點Q．
（1）求線段PQ的長；
（2）問：點P在何處時，△PFD∽△BFP，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得：PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠QPE=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠QPE，

∵EQ⊥AB，

∴∠A=∠Q=90°，

在△ADP和△QPE中，

，

∴△ADP≌△QPE（AAS），

∴PQ=AD=1

（2）解：∵△PFD∽△BFP，

∴ ，

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，

∴△DAP∽△PBF，

∴ ，

∴ = ，

∴PA=PB，

∴PA= AB=

∴當PA= ，即點P是AB的中點時，△PFD∽△BFP

【解析】（1）由題意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的邊長為1，易證得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性質，求得線段PQ的長；（2）易證得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根據相似三角形的對應邊成比例，可得證得PA=PB，則可求得答案．