Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，且，BC=10cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段AC上由點A向C點以4cm/s的速度運動．

（1）若點P、Q兩點分別從B、A兩點同時出發，經過2秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

（2）若點P、Q兩點分別從B、A兩點同時出發，△CPQ的周長為18cm，問：經過幾秒后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△BPD與△CQP是全等．理由見解析；（2）經過1秒或秒或秒時，△CPQ是等腰三角形.

【解析】

（1）經過2秒后，PB=4m，PC=6m，CQ=4m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據SAS可證得△BPD≌△CQP．

（2）可設點Q的運動時間為ts△CPQ是等腰三角形，則可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，據（1）同理可得當BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時△CPQ為等腰三角形，從而求得t的值．

（1）△BPD與△CQP是全等．理由如下：

當P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發運動2秒時有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，

則CP=BC-BP=10-4=6cm，CQ=AC-AQ=12-8=4cm ，

∵D是AB的中點，∴BD=AB=×12=6cm，

∴BP=CQ，BD=CP；又∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C ；

在△BPD和△CQP中

∴△BPD≌△CQP（SAS）

（2）設當P，Q兩點同時出發運動t秒時，有BP=2t，AQ=4t,

∴t的取值范圍為0＜t≤3

則CP=10-2t，CQ=12-4t ,

∵△CPQ的周長為18cm，

∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4

要使△CPQ是等腰三角形，則可分為三種情況討論：

①當CP=CQ時，則有10-2t=12-4t，解得：t=1

②當PQ=PC時，則有6t-4=10-2t，解得：t=；

③當QP=QC時，則有6t-4=12-4t，解得：t=，

三種情況均符合t的取值范圍．

綜上所述，經過1秒或秒或秒時，△CPQ是等腰三角形.