Question

【題目】已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠AEB的度數；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE． ①∠AEB的度數為°；
②探索線段CM、AE、BE之間的數量關系為 ． （直接寫出答案，不需要說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE

（2）解：如圖1，∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°

（3）90；AE=BE+2CM
【解析】解： （3）①如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180﹣45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
所以答案是：90；
②如圖2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
所以答案是：AE=BE+2CM．

【考點精析】利用等腰直角三角形和等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．