Question

如圖，直線與坐標軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C．在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動．分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF．若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）．

（1）求點P運動的速度是多少？
（2）當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？
（3）當t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵直線與坐標軸分別交于點A、B，
∴x=0時，y=4；y=0時，x=8。∴BO=4，AO=8。∴。
當t秒時，QO=FQ=t，則EP=t，
∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP。∴，即。
∴AP=2t。
∵動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發向點A做勻速運動，
∴點P運動的速度是每秒2個單位長度。
（2）∵當OP=OQ時，PE與QF重合，此時t=，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動，
∴分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：
如圖1，當0＜t＜。即點P在點Q右側時，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t。
∴8－3t=t。
解得：t=2。
如圖2，當＜t≤4，即點P在點Q左側時，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t。

∴。
∴。
解得：t=4。
∴當t為2秒或4秒時，矩形PEFQ為正方形。
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：
如圖1，當0＜t＜時，Q在P點的左邊
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴。
∴當t=時，S的最大值為，
如圖2，當＜t≤4時，Q在P點的右邊，
∵OQ=t，PA=2t，∴。
∴。
∵當＜t≤4時，S隨t的增大而增大，∴t=4時，S的最大值為：3×4²﹣8×4=16。
綜上所述，當t=4時，S的最大值為：16。

試題分析：（1）根據直線與坐標軸分別交于點A、B，得出A，B點的坐標，再利用EP∥BO，得出，據此可以求得點P的運動速度。
（2）當PQ=PE時，以及當PQ=PE時，矩形PEFQ為正方形，分別求出即可。
（3）根據（2）中所求得出S與t的函數關系式，從而利用二次函數性質求出即可。