Question

【題目】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確結論有（ ）

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形,得到四條邊相等,四個角為直角,利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等,利用全等三角形對應邊相等即可得到BE=DG,利用全等三角形對應角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定義得到∠BOD為直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.

詳解：①∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形，

∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.

在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，

∴△BCE≌△DCG，

∴BE=DG，

故結論①正確.

②如圖所示，設BE交DC于點M，交DG于點O.

由①可知，△BCE≌△DCG，

∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.

又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，

∴∠DOM=∠MCB=90°，

∴BE⊥DG.

故②結論正確.

③如圖所示，連接BD、EG，

由②知，BE⊥DG，

則在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，

在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，

在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，

在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，

∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.

在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，

在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，

∴BG2+DE2=2a2+2b2.

故③結論正確.

故選：D.