Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（2，0），C三點．直線y=mx+ 交拋物線于A，Q兩點，點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點N．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，當點P運動到什么位置時，線段PN=2NF，求出此時點P的坐標；
（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，點M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（2，0），

∴將點A和點B的坐標代入得： ，解得a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2

（2）

解：直線y=mx+ 交拋物線與A、Q兩點，把A（﹣1，0）代入解析式得：m= ，

∴直線AQ的解析式為y= x+ ．

設點P的橫坐標為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+ ），F（n，0），

∴PN=﹣n2+n+2﹣（ n+ ）=﹣n2+ n+ ，NF= n+ ．

∵PN=2NF，即﹣n2+ n+ =2×（ n+ ），解得：n=﹣1或 ．

當n=﹣1時，點P與點A重合，不符合題意舍去．

∴點P的坐標為（ ， ）

（3）

解：∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴M（ ， ）．

如圖所示，連結AM交直線DE與點G，連結CG、CM此時，△CMG的周長最小．

設直線AM的函數解析式為y=kx+b，且過A（﹣1，0），M（ ， ）．

根據題意得： ，解得 ．

∴直線AM的函數解析式為y= + ．

∵D為AC的中點，

∴D（﹣ ，1）．

設直線AC的解析式為y=kx+2，將點A的坐標代入得：﹣k+2=0，解得k=2，

∴AC的解析式為y=2x+2．

設直線DE的解析式為y=﹣ x+c，將點D的坐標代入得： +c=1，解得c= ，

∴直線DE的解析式為y=﹣ x+ ．

將y=﹣ x+ 與y= + 聯立，解得：x=﹣ ，y= ．

∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，此時G（﹣ ， ）

【解析】（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組，然后求得a，b的值，從而得到問題的答案；（2）把A（﹣1，0）代入y=mx+ 求得m的值，可得到直線AQ的解析式，設點P的橫坐標為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+ ），F（n，0），
然后用含n的式子表示出PN、NF的長，然后依據PN=2NF列方程求解即可；（3）連結AM交直線DE與點G，連結CG、CM此時，△CMG的周長最小，先求得點M的坐標，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得兩直線的交點坐標即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．