Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，連接CE．

（1）如圖1，當點P在菱形ABCD內部時，則BP與CE的數量關系是　 　，CE與AD的位置關系是　 　．

（2）如圖2，當點P在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖2，連接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）結論仍然成立，理由見解析；（3）2

【解析】

（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可證△ABC與△ACD是等邊三角形，由等邊△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，減去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根據SAS可證得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形對角線平分一組對角可證∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三線合一可得CE⊥AD．

（2）結論不變．證明過程同（1）．

（3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解決問題．

（1）BP=CE，CE⊥AD．

理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°

∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°

∴△ABC、△ACD是等邊三角形

∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°

∵△APE是等邊三角形

∴AP=AE，∠PAE=60°

∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC

即∠BAP=∠CAE，

∴△BAP≌△CAE（SAS）

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE

∵BD平分∠ABC

∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°

∴CE平分∠ACD

∴CE⊥AD．

故答案為BP=CE，CE⊥AD．

（2）結論仍然成立．理由如下：如圖，設CE交AD于H，連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

∵△APE是等邊三角形，

∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°．

∴△BAP≌△CAE．

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°．

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

（3）如圖，連接BE，

由（2）可知CE⊥AD，BP= CE．

在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC．

∵BC=AB=2，BE=2，

在Rt△BCE中，CE==8．

∴BP=CE=8．

∵AC與BD是菱形的對角線，

∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD．

∴OA=AB=，BO==3，

∴OP=BP－BO=5，

在Rt△AOP中，AP==2，