Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；

（1）如果點(diǎn)P（m，）在第二象限內(nèi)，試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積，并求當(dāng)△APB與△ABC面積相等時m的值；

（2）如果△QAB是等腰三角形并且點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，請求出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo)；

（3）是否存在實數(shù)a，b使一次函數(shù)和y=ax+b的圖象關(guān)于直線y=x對稱？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣；（2）Q的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣）或（0，+2）或（0，﹣2）或（0，）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，然后求出∠ABO=30°，再根據(jù)S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO列式整理即可得解；根據(jù)S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP表示出△APB的面積，再解直角三角形求出AC，然后求出△ABC的面積，列出方程求解即可；

（2）分①點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)，AB是腰時，求出OQ的長度，②點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn)，AB是腰時，求出OQ的長度，然后寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，③AB是底邊時，分點(diǎn)Q在y軸上和點(diǎn)Q在x軸上兩種情況，利用等邊三角形的性質(zhì)求解；

（3）求出A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出a、b，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．

解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，

∵點(diǎn)P（m，）在第二象限內(nèi)，

∴PD=，OD=﹣m，

令y=0，則﹣x+=0，

解得x=1，

令x=0，則y=，

∴點(diǎn)A（1，0），B（0，），

∴OA=1，OB=，

由勾股定理得，AB===2，

∴∠ABO=30°，

S四邊形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO，

=×（+）（﹣m）+×1×﹣×（﹣m）×，

=﹣m+，

∴四邊形AOPB的面積=﹣m+；

S△APB=S四邊形AOPB﹣S△AOP，

=﹣m+﹣×1×，

=﹣m+，

∵∠ABC=30°，

∴AC=ABtan30°=2×=，

∴S△ABC=×2×=，

∵△APB與△ABC面積相等，

∴﹣m+=，

解得m=﹣，

故，當(dāng)△APB與△ABC面積相等時，m=﹣；

（2）①點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)，AB是腰時，AQ=AB=2，

若點(diǎn)Q在x正半軸，則OQ=AO+AQ=1+2=3，

若點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸，則OQ=AQ﹣AO=2﹣1=1，

若點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸，則OQ=BO=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣），

②點(diǎn)B是頂角頂點(diǎn)，AB是腰時，BQ=AB=2，

若點(diǎn)Q在y軸正半軸，則OQ=BO+BQ=+2，

若點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸，則OQ=BQ﹣BO=2﹣，

若點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸，則OQ=AO=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，+2）或（0，﹣2）或（﹣1，0）；

③AB是底邊時，若點(diǎn)Q在y軸上，則OQ=OAtan30°=1×=，

若點(diǎn)Q在x軸上，則OQ=AO=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，）或（﹣1，0），

綜上所述，△QAB是等腰三角形時，坐標(biāo)軸上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣）或（0，+2）或（0，﹣2）或（0，）；

（3）∵A（1，0）關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為（0，1），

B（0，）關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為（，0），

∴，

解得，

∴==，

=，

=，

=﹣．