Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點 為第一象限內一點，點在軸正半軸上，且．
（1）求點的坐標；
（2）動點以每秒2個單位長度的速度，從點出發，沿軸正半軸勻速運動，設點的運動時間為秒，的面積為，請用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點坐標為，連接，過點作軸的垂線交于點，過點 作軸的平行線，在點的運動過程中，直線上是否存在一點，使是以為腰的等腰直角三角形？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（10，0）；（2）S=25-5t（0＜t≤5）或S=5t-25（t＞5）；（3）存在，（5，5）或（3，5）或（17，5）．

【解析】

（1）作AM⊥OB于M，左側△OAB是等腰直角三角形，得出∠OAB=90°，∠ABO=45°，BM=OM=5，求出OB=10，即可得出點B的坐標；
（2）分兩種情況討論：當0＜t≤5時，OP=2t，則PB=10-2t；當t＞5時，OP=2t，則PB=2t-10；由三角形面積公式即可得出結果；
（3）由ASA證明△OAD≌△BAK，得出OD=BK=2，分兩種情況：當∠PRK=90°時，點R與A重合，得出R（5，5）；當∠RPK=90°時，①當P在B的左側時，作RE⊥OB于E，證得△EPR≌△BKP，得出EP=BK=2，RE=PB=5，求出OE=3即可；②當P在B的右側時，同理得出點R的坐標為（17，5），即可得出結論．

（1）作AM⊥OB于M，如圖1所示：

∵∠AOB=45°，OA=BA，點A（5，5），
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，
∴∠ABO=45°，BM=OM=5，
∴OB=10，
∴點B的坐標為（10，0）；
（2）當0＜t≤5時，如圖2所示：

OP=2t，則PB=10-2t，
∴S=（10-2t）×5=25-5t；
當t＞5時，如圖3所示：
OP=2t，則PB=2t-10，
∴S=（2t-10）×5=5t-25；
綜上所述：S=25-5t（0＜t≤5）或S=5t-25（t＞5）；

（3）存在，∵AK⊥AD，

∴∠DAK=90°=∠OAB，
∴∠OAD=∠BAK，
∵BK⊥OB，
∴∠ABK=90°-45°=45°，
在△OAD和△BAK中， ，
∴△OAD≌△BAK（ASA），

∴OD=BK=2，
當∠PRK=90°時，點R與A重合，
∴R（5，5）；
當∠RPK=90°時，
①當P在B的左側時，如圖4所示：
作RE⊥OB于E，同理證得△EPR≌△BKP，

∴EP=BK=2，RE=PB=5，
∴OE=10-5-2=3，
∴R（3，5）；
②當P在B的右側時，如圖5所示：
同理得出點R的坐標為（17，5）；
綜上所述：直線a上存在點R，使△PKR是以PR為腰的等腰直角三角形，點R坐標為（5，5）或（3，5）或（17，5）．/p>