Question

【題目】如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx經過點B（1，4）和點E（3，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點的坐標；

（3）在條件（2）下，在拋物線的對稱軸上找一點M，使得△BDM的周長為最小，并求△BDM周長的最小值及此時點M的坐標；

（4）在條件（2）下，從B點到E點這段拋物線的圖象上，是否存在一個點P，使得△PAD的面積最大？若存在，請求出△PAD面積的最大值及此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）△BDM的周長最小值為，M（，）；（4）點P的坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）依據同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據AAS證明△BDC≌△DEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點D的坐標；（3）作點B關于拋物線的對稱軸的對稱點B′，連接B′D交拋物線的對稱軸與點M．先求得拋物線的對稱軸方程，從而得到點B′的坐標，由軸對稱的性質可知當點D、M、B′在一條直線上時，△BMD的周長有最小值，依據兩點間的距離公式求得BD和B′D的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據待定系數法求得D、B′的解析式，然后將點M的橫坐標代入可求得點M的縱坐標；（4）過點F作FG⊥x軸，垂足為G．設點F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，FG=﹣2a2+6a．然后依據S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面積與a的函數關系式，然后依據二次函數的性質求解即可．

試題解析：（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標代入拋物線的解析式得：，

解得：a=-2，b=6，

拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x．

（2）如圖1所示；

∵BD⊥DE，

∴∠BDE=90°．

∴∠BDC+∠EDO=90°．

又∵∠ODE+∠DEO=90°，

∴∠BDC=∠DE0．

在△BDC和△DOE中，，

∴△BDC≌△DEO．

∴OD=AO=1．

∴D（0，1）．

（3）如圖2所示：作點B關于拋物線的對稱軸的對稱點B′，連接B′D交拋物線的對稱軸與點M．

∵x=﹣=，

∴點B′的坐標為（2，4）．

∵點B與點B′關于x=對稱，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴當點D、M、B′在一條直線上時，MD+MB有最小值（即△BMD的周長有最小值）．

∵由兩點間的距離公式可知：BD=，DB′=，

∴△BDM的最小值=．

設直線B′D的解析式為y=kx+b．

將點D、B′的坐標代入得：，

解得：k=，b=1．

∴直線DB′的解析式為y=x+1．

將x=代入得：y=．

∴M（，）．

（4）如圖3所示：過點F作FG⊥x軸，垂足為G．

設點F（a，﹣2a2+6a），則OG=a，FG=﹣2a2+6a．

∵S梯形DOGF=（OD+FG）OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA=ODOA=×1×1=，S△AGF=AGFG=﹣a3+4a2﹣3a，

∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．

∴當a=時，S△FDA的最大值為．

∴點P的坐標為（，）．