Question

【題目】如圖1，Rt△ACB 中，∠C=90°，點D在AC上，∠CBD=∠A，過A、D兩點的圓的圓心O在AB上．

（1）利用直尺和圓規在圖1中畫出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線條描清楚）；
（2）判斷BD所在直線與（1）中所作的⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）設⊙O交AB于點E，連接DE，過點E作EF⊥BC，F為垂足，若點D是線段AC的黃金分割點（即 = ），如圖2，試說明四邊形DEFC是正方形）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，⊙O為所作；

（2）解：BD與⊙O相切．理由如下：

連接OD，如圖1，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∵∠CBD=∠A，

∴∠CBD=∠ODA，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°，

∴∠ODA+∠CDB=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BD，

∴BD為⊙O的切線；

（3）解：∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，

∴△CDB∽△CBA，

∴CD：CB=CB：CA，

∴CB2=CDCA，

∵點D是線段AC的黃金分割點，

∴AD2=CDAC，

∵AD=CB，

∵AE為直徑，

∴∠ADE=90°，

在△ADE和△BCD中

，

∴△ADE≌△BCD，

∴DE=DC，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∴四邊形CDEF為矩形，

∴四邊形DEFC是正方形．

【解析】（1）過A、D的圓圓心在AD的垂直平分線上，由交軌法，必在此線與AB的交點處；（2）要證相切，須連結半徑，再證∠ODB=90°，可利用已知的∠C=90°，∠CBD=∠A即可證出;（3）由（2）中的△CDB∽△CBA可得CB2=CDCA，由已知“點D是線段AC的黃金分割點”可得AD2=CDAC，兩式比較可得AD=CB，進而證得全等，所以DE=DC，易證四邊形CDEF為矩形，即可證得四邊形DEFC是正方形.