Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點H．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若HB=2，cosD= ，請求出AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A

∴∠COB=∠D，

∵DE⊥AP，

∴∠DEP=90°，

在Rt△DEP中，∠DEP=90°，

∴∠P+∠D=90°

∴∠P+∠COB=90°，

∴∠OCP=90°，

∴半徑OC⊥DC，

∴DC與⊙O相切

（2）解：由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，

∴cos∠COP=cos∠D= ，

∵CH⊥OP

∴∠CHO=90°，

設⊙O的半徑為r，

則OH=r﹣2

在Rt△CHO中，

cos∠HOC= = =

∴r=5

∴OH=5﹣2=3

∴由勾股定理可知：CH=4，

∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8

在Rt△AHC中，∠CHA=90°，

∴由勾股定理可知：AC=4

【解析】（1）證切線可連結半徑，證垂直；（2）轉化cos∠COP=cos∠D，在Rt△CHO中利用三角函數列方程求出r從而求出AC.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和直線與圓的三種位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．