Question

【題目】已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．點P射線BA上一點，點Q是AC的延長線上一點，且BP＝CQ，連接PQ，與直線BC相交于點D．

（1）如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；

（2）如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當點P，Q分別在射線BA和AC的延長線上任意地移動過程中，線段BE，DE，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）線段DE的長度保持不變，理由見解析.

【解析】（1）過P點作PF∥AC交BC于F，即可構成小等邊三角形BPF，再證明△PFD≌△QCD即可求解；

（2）根據（1）分兩種情況：點P在線段AB上時，點P在BA的延長線上時分別求解即可得出結論.

解：（1）過P點作PF∥AC交BC于F，

∵點P為AB的中點，∴BP＝A B＝3，

∵AB＝AC＝BC ，∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°，

∴△PBF是等邊三角形，

∴BF＝FP＝BP＝3，∴FC＝BC－BF＝3，

由題意，BP＝CQ，∴FP＝CQ，

∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC，

又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD，

∴CD＝DF＝ FC＝ ；

（2）當點P，Q在移動的過程中，線段DE的長度保持不變，

分兩種情況討論：

①當點P在線段AB上時，

過點P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF，

∵PE⊥BC，∴BE＝EF，

由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，

∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3，

②當點P在BA的延長線上時，同理可得DE＝3，

∴當點P、Q在移動的過程中，線段DE的長度保持不變.