Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c+1。

（1）當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程；

（2）若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數的圖象與x軸相切？

（3）若二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足=，求二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸的方程為x=；（2）b=；（3）y=﹣x2+x+1．

【解析】試題分析：（1）二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x=，即可得出答案；

（2）二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（），y由二次函數的圖象與x軸相切且c=b2﹣2b，得出方程組，求出b即可；

（3）由圓周角定理得出∠AMB=90°，證出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OAOB，由二次函數的圖象與x軸的交點和根與系數關系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2=b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，證明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程組，解方程組求出b的值即可．

試題解析：解：（1）二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x=，當b=1時， =，∴當b=1時，這個二次函數的對稱軸的方程為x=．

（2）二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（）．∵二次函數的圖象與x軸相切且c=﹣b2﹣2b，∴，解得：b=，∴b為，二次函數的圖象與x軸相切．

（3）∵AB是半圓的直徑，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°．∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OAOB．∵二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2=b，x1x2=﹣（c+1）．∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1．∵二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足=，∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，∴DE=，DF=，∴×4，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1．∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得： ，∴b=﹣+2=，∴二次函數的表達式為y=﹣x2+x+1．