Question

【題目】已知x軸上有點A（1，0），點B在y軸上，點C（m，0）為x軸上一動點且m＜﹣1，連接AB，BC，tan∠ABO= ，以線段BC為直徑作⊙M交直線AB于點D，過點B作直線l∥AC，過A，B，C三點的拋物線為y=ax2+bx+c，直線l與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E，F．

（1）求B點坐標；
（2）用含m的式子表示拋物線的對稱軸；
（3）線段EF的長是否為定值？如果是，求出EF的長；如果不是，說明理由．
（4）是否存在點C（m，0），使得BD= AB？若存在，求出此時m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵tan∠ABO= ，且A（1，0），

∴OB=2，即：點B的坐標為（0，2）

（2）

解：點C（m，0），A（1，0），B（0，2）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴

解之得：b=﹣ ，a= ，

∴x=﹣ = ．

即：拋物線的對稱軸為x=

（3）

解：∵點E在拋物線y=ax2+bx+c上，又在直線y=2上，

∴2=ax2+bx+2

∴x1=0，x2=﹣

∴E（﹣ ，2），

又∵直線l∥x軸，BC是⊙M的直徑，

∴BF∥OC，BF=OC，

∴F（m，2）

∴EF=﹣ ﹣m，

∵點C（m，0）為x軸上一動點且m＜﹣1，

∴m的值是一個變量，

即：線段EF的長不是定值

（4）

解：如下圖所示：連接CD

∵BCS是⊙M的直徑，

∴∠CDB=90°，

∵若BD= AB，即BD=DA

則易證CB=CA

∴ =1﹣m

解之得m=﹣ ，

即：存在一點C（﹣ ，0），使得BD= AB

【解析】（1）根據正切函數的定義及點A的坐標求解；（2）因為點C、A、B在拋物線上，故代入其坐標列方程組求解即可；（3）點E（x，y）既在拋物線y=ax2+bx+2上，又在直線y=2上，所以有2=ax2+bx+2，由此可知E（﹣ ，2），又因為直線l∥x軸，BC是⊙M的直徑，由圓的對稱性可知BF∥OC且BF=OC，所以F（m，2），由此可分析EF長；（4）連接CD，因為BC為圓的直徑，所以∠BDC=90°，若BD= AB，可證明CA=CB，由此可求得符合題意的點C（﹣ ，0）．