Question

【題目】材料1：反射定律

當入射光線AO照射到平面鏡上時，將遵循平面鏡反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，顯然，這兩個角的余角也相等，其中法線（OM）與平面鏡垂直，并且滿足入射光線、反射光線（OB）與法線在同一個平面．

材料2：平行逃逸角

對于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），點P為邊OB上一點，從點P發出一光線PQ（射線），其角度為∠BPQ=β（0°＜β＜90°），當光線PQ接觸到邊OA和OB時會遵循反射定律發生反射，當光線PQ經過n次反射后與邊OA或OB平行時，稱角為定角α的n階平行逃逸角，特別地，當光線PQ直接與OA平行時，稱角β為定角α的零階平行逃逸角．

（1）已知∠AOB=α=20°，

①如圖1，若PQ∥OA，則∠BPQ=　 　°，即該角為α的零階平行逃逸角；

②如圖2，經過一次反射后的光線P1Q∥OB，此時的∠BPP1為α的平行逃逸角，求∠BPP1的大小；

③若經過兩次反射后的光線與OA平行，請補全圖形，并直接寫出α的二階平行逃逸角為　 　°；

（2）根據（1）的結論，歸納猜想對于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n為自然數）階平行逃逸角β=　 　（用含n和a的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①20；②∠BPP1=40°③60°；（2）（n+1）α．

【解析】

（1）①兩直線平行，同位角相等；②由“反射定律”可得∠AP1Q=∠PP1O，再由P1Q∥OB可得∠AP1Q=∠PP1O=∠AOB=20°；③先作PQ∥AO，再根據“反射定律”先畫出P2P1，再畫出P1P.

（3）分別從零階、一階、二階逃逸角與∠α的關系中歸納一般性關系.

解：（1）①如圖①中，∵PQ∥OA，

∴∠BPQ=∠AOB=20°，

故答案為20．

②如圖2中，

∵P1Q∥OB，

∴∠AP1Q=∠PP1O=∠AOB=20°，

∴∠BPP1=∠AOB+∠PP1O=40°．

③如圖3中，如圖所示，α的二階平行逃逸角為20°×3=60°，

（2）由（1）可知：α的零階平行逃逸角為α，α的1階平行逃逸角為2α，α的二階平行逃逸角為3α，

…，由此可以推出，α的n階平行逃逸角為（n+1）α，

故答案為（n+1）α．