Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm。

（1）（1）若OB=6cm．①求點C的坐標；②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離
（2）點C與點O的距離的最大值= cm．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，CD=3，

所以點C的坐標為（﹣3，9）；

②設點A向右滑動的距離為x，根據題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，

（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），∴滑動的距離為6（﹣1）

（2）12
【解析】（2）設點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：

則OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，
∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2 ，
∴取AB中點D，連接CD，OD，則CD與OD之和大于或等于CO，當且僅當C，D，O三點共線時取等號，此時CO=CD+OD=6+6=12，故答案為：12．
（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質解答即可；②設點A向右滑動的距離為x，得點B向上滑動的距離也為x，利用三角函數和勾股定理進行解答；（2）過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證明△ACE與△BCD相似，再利用相似三角形的性質解答．