Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋4的頂點(diǎn)P在一條定直線l上．

（1）直接寫出直線l的解析式；

（2）若存在唯一的實(shí)數(shù)m，使拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．

①求此時(shí)的a和m的值；

②拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A，B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，以OA、OB為邊作□OACB，若點(diǎn)C在拋物線上，求B的坐標(biāo)．

（3）拋物線與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)Q，若a＝1，直接寫出△OPQ的面積的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+4（2）①m=-4；②B（-2，-3）（3）

【解析】試題分析：（1）利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決問題．

（2）①拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，所以x=0時(shí)，y=0，得am2+2m+4=0，因?yàn)閷?shí)數(shù)m唯一，所以△=0，得到4﹣16a=0，可得a=，m=﹣4．

②如圖1中，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，由此可以求出點(diǎn)B坐標(biāo)．

（3）如圖2中，直線y=2x+4與x軸交于點(diǎn)B（﹣2，0），交y軸于點(diǎn)A（0，4），作OM⊥AB于M．由OAOB=ABOM，求出OM，利用方程組，可得P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），求出PQ的長(zhǎng)即可解決問題．

試題解析：解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m+4=a（x﹣m）2+2m+4，∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，2m+4），∴頂點(diǎn)P在直線y=2x+4上．

（2）①∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴x=0時(shí)，y=0，∴am2+2m+4=0，∵實(shí)數(shù)m唯一，∴△=0，∴4﹣16a=0，∴a=，m=﹣4．

②如圖1中，∵四邊形OACB是平行四邊形，∴OA∥BC，OA=BC=4，∵BC∥x軸，A（﹣4，0），根據(jù)對(duì)稱性可知，B、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣2，y=（x+4）2﹣4，∴x=﹣2時(shí)，y=﹣3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．

（3）如圖2中，∵直線y=2x+4與x軸交于點(diǎn)B（﹣2，0），交y軸于點(diǎn)A（0，4），作OM⊥AB于M，∴OB=2，OA=4，∴AB==．∵OAOB=ABOM，∴OM=/span>．∵a=1，∴拋物線的解析式為y=x2﹣2mx+m2+2m+4，由，消去y得x2﹣（2m+2）x+m（m+2）=0，解得x=m或m=2，∴或，∴P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），∴PQ==，∴S△POQ=PQOM=××=．