Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；
（2）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；
（3）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx得 ，解得 ，

∴拋物線表達式為：y=﹣x2+4x；

（2）解：過P點作PD⊥BH交BH于點D，如圖1，

設點P（m，﹣m2+4m），

BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∵S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）=6，

整理得3m2﹣15m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，

∴點P坐標為（5，﹣5）；

（3）解：∵拋物線的對稱性為直線x=2，

而點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，

∴C（3，3），

以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：

①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，

CM=MN，∠CMN=90°，易證得△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴MC= = ，

∴S△CMN= × × = ；

②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，

過點M作DE⊥y軸，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，作輔助線，易得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，

∴CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖4，

CN=MN，∠MNC=90°，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，

∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5，

∴CN= = ，

∴S△CMN= × × =17；

④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，如圖5，

易得Rt△NEM≌Rt△CDN，

∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD﹣BC=EM﹣BC=1，

∴CN= = ，

∴S△CMN= × × =5；

⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為： 或 或17或5．

【解析】本題是二次函數與幾何的綜合題目.此題目綜合性比較強，解答此題的關鍵是結合圖形做出輔助線.
（1）利用待定系數法求出拋物線的表達式；
（2）過P作PD⊥BH交BH于點D，設P點的坐標為，則BH=AH=3，HD=m2-4m，PD=m-1，根據S△ABP+S四邊形HAPD-S△BPD得到關于m的方程，解方程可得P的坐標；
（3）先利用拋物線的對稱性得到C（3，3），下面分五種情況討論：①以點M在直角頂點且M在x軸上方時；②以點M在直角頂點且M在x軸下方時；③以點N在直角頂點且N在y軸左側時；④以點N在直角頂點且N在y軸右側時；⑤以點C在直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形.