Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形有一組對角互補（即對角之和為180°），則稱這個四邊形為圓滿四邊形．
（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認為屬于圓滿四邊形的有 ．
（2）問題探究：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠ADB=∠ACB，問四邊形ABCD是圓滿四邊形嗎？請說明理由．小明經過思考后，判斷四邊形ABCD是圓滿四邊形，并提出了如下探究思路：先證明△AOD∽△BOC，得到比例式 = ，再證明△AOB∽△DOC，得出對應角相等，根據四邊形內角和定理，得出一組對角互補．請你幫助小明寫出解題過程．

（3）問題解決：請結合上述解題中所積累的經驗和知識完成下題．如圖，四邊形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB與DC的延長線相交于點E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）矩形，正方形
（2）

解：證明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，

∴∠DAO=∠CBO，

∴△AOD∽△BOC，

∴ ，又∵∠AOB=∠DOC，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．

∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，

即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．

∴四邊形ABCD是圓滿四邊形

（3）

解：如圖，∵AD⊥BD，AC⊥BC，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∴四邊形ABCD是圓滿四邊形，

由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．

又∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDC=∠BAC，

∴AC=EC．

又∵∠BCE+∠DCB=180°，

∴∠BCE=∠DAB，

又∠BEC=∠DEA，

∴△BEC∽△DEA，

∴ ，

設AC=EC=x，則BC= =

BD= =4，

∴EA=5+4=9，

∴ ，解得，x= ．

即：CE=

【解析】解：（1）∵矩形和正方形的四個內角都是90°，
∴矩形和正方形的兩組對角的和為180°，
∴矩形，正方形是圓滿四邊形．
故答案是：矩形，正方形；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．