Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx經過A（4，0），B（1，3）兩點，點B、C關于拋物線的對稱軸l對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，是否存在這樣的點M、N，使得以點M為直角頂點的△CNM是等腰直角三角形？若存在，請求出點M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得

解得： ，

∴y=﹣x2+4x

（2）

解：∵拋物線y=﹣x2+4x的對稱軸為x=2，

又點B的坐標為（1，3），點B、C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點C的坐標為（3，3）．

假設存在這樣的點M、N，使得以點M為直角頂點的△CNM是等腰直角三角形．

①當M在x軸上方時，如圖1

，

∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，

∴∠CMB=∠MNH．

在△CBM和△MHN中

，

△CBM≌△MHN（AAS），

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0）．

②M在x軸下方時，如圖2

，

∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，

∴∠CMB=∠MNH．

在△CBM和△MHN中

，

△CBM≌△MHN（AAS），

∴HM=CB=2，HN=MB=2+3=5，

∴M（1，﹣2），N（﹣4，0）．

綜上所述，存在這樣的點M（1，2），N（2，0）或M（1，﹣2），N（﹣4，0）使得以點M為直角頂點的△CNM是等腰直角三角形

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據全等三角形的判定與性質，可得MH，HN的值，根據點的坐標，可得答案．