Question

如圖1，直線y=-

3

3

x+

3

與兩坐標軸交于A、B，以點M（1，0）為圓心，MO為半徑作小⊙M，又以點M為圓心、MA為半徑作大⊙M交坐標軸于C、D．
（1）求證：直線AB是小⊙M的切線．
（2）連接BM，若小⊙M以2單位/秒的速度沿x軸向右平移，大⊙M以1單位/秒的速度沿射線BM方向平移，問：經過多少秒后，兩圓相切？
（3）如圖2，作直線BE∥x軸交大⊙M于E，過點B作直線PQ，連接PE、PM，使∠EPB=120°，請你探究線段PB、PE、PM三者之間的數量關系．

Answer 1

（1）∵直線y=-

3

3

x+

3

與兩坐標軸交于A、B，∴A（3，0），B（0，

3

），MO=1，
過M作MF垂直AB于F，
則∠MFA=∠BOA=90°，
∵∠FAM=∠OAB，
∴△MFA∽△BOA，
∴

AM

AB

=

MF

OB

，
∵A（3，0），B（0，

3

），M（1，0），
∴OA=3，OB=

3

，OM=1，
∴AM=3-1=2，由勾股定理得：AB=2

3

，
∴

2

2 3

=

MF

3

，
MF=1=OM，
∵MF⊥AB，
∴直線AB是小⊙M的切線．

（2）小⊙M以2單位/秒的速度沿x軸向右平移，圓心M（1，0），則移動t秒后的圓心變為（2t+1，0）；
因為B（0，

3

），M（1，0），
所以直線BM的解析式為：y=-

3

x+

3

，
又因為大⊙M以1單位/秒的速度沿射線BM方向平移，圓心M（1，0），則移動t秒后的圓心變為（1+

1

2

t，-

3

2

t），
①當兩圓外切時，兩圓心距離為兩圓半徑的和即：

3 4 t2+ 9 4 t2

=OM+MA=OA=3，
解得t=

3

秒，
②當兩圓內切時，兩圓心距離為兩圓半徑的差即：

3 4 t2+ 9 4 t2

=1，
解得t=

3

3

秒，

（3）如下圖作輔助線：ME=2，OB=

3

，在△BCM中，∠BMO=60°，同理∠EMA=60°，
則∠BME=60°，
又∵∠EPB=120°，
∴∠EPB+∠BME=180°，
∴PBME四點共圓，
∵BM=ME，
∴∠BPM=∠EPM=60°，
在PM上截取PN=PE，連接NE，
∵∠EPM=60°，PE=PN，
∴△PNE是等邊三角形，
∴PE=EN，∠PEN=60°，
∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB，
∵∠PBE=∠NME（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
在△PBE和△NME中
∵

∠EPB=∠MNE ∠PBE=∠EMN PE=EN

，
∴△PBE≌△NME（AAS），
∴PB=NM，
∴PM=PN+NM=PE+PB．
∴PB、PE、PM三者之間的數量關系為：PM=PB+PE．