Question

(1)如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BE′A(點C與點A重合，點E到點E′處)連接DE′.

求證：DE′＝DE.
(2)如圖2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠45°)．

求證：DE²＝AD²＋EC².

Answer 1

（1）（2）見解析

(1)證明：∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋轉(zhuǎn)而成，
∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，
∴∠DBE′＝∠DBE，
在△DBE與△DBE′中，
∵BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′
BD＝BD
∴△DBE≌△DBE′(SAS)，∴DE′＝DE.
(2)如圖所示：把△CBE旋轉(zhuǎn)90°，

連接DE′，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°，
∴圖形旋轉(zhuǎn)后點C與點A重合，CE與AE′重合，
∴AE′＝EC，
∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，
∴∠DAE′＝90°，
在Rt△ADE′中，DE′²＝AE′²＋AD²，
∵AE′＝EC，
∴DE′²＝EC²＋AD²
同(1)可得DE＝DE′，∴DE²＝AD²＋EC².