Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx﹣4的圖象經過A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，于y軸交于點D．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）已知點C（3，m）在這個二次函數的圖象上，連接BC，點P為拋物線上一點，且∠CBP=60°．

①求∠OBD的度數；

②求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式為y=x2﹣3x﹣4；（2）①60°，②（-，）

【解析】分析：（1）代入A、B點坐標即可求得a、b的值，即可解題；

（2）①易證△BOD是含30°角的直角三角形，即可解題；

②過點P作PE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥BD于點F，易證△CBF∽△PBE，可得，即可解題．

詳解：（1）由題意知：，解得．

∴該二次函數的表達式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）①∵當x=0時，y=﹣4．

∴拋物線與y軸交點D的坐標為（0，﹣4）．

∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，

∴BD==8，即BD=2OB，

∴∠ODB=30°．

∴∠OBD=60°；

②過點P作PE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥BD于點F，

∵x=3時，m=﹣4．

∴點C的坐標為（3，﹣4）．

∵CD∥x軸，

∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．

∴DF=CD=，CF=，

∵BD=8，

∴BF=8﹣=，

設點P的坐標為（x，x2﹣3x﹣4）．

則PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，

∵∠CBP=∠OBD=60°，

∴∠CBF=∠PBE．

∵∠CFB=∠PEB=90°．

∴△CBF∽△PBE．

∴．

∴，

解得：x1=4（舍去），x2=﹣．

∵當x=﹣時，y=﹣．

∴點P的坐標為（﹣，﹣）．