Question

【題目】若整數a能被整數b整除，則一定存在整數n，使得=n，即a=bn，例如：若整數a能被整數7整除，則一定存在整數n，使得=n，即a=7n．

（1）將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數一定能被7整除．例如：將數字1078分解為8和107，107﹣8×2=91，因為91能被7整除，所以1078能被7整除，請你證明任意一個三位數都滿足上述規律．

（2）若將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數加上個位數的k（k為正整數，1≤k≤15）倍，所得之和能被13整除，求當k為何值時使得原多位自然數一定能被13整除．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據題意設﹣2c=10a+b能被7整除，再假設﹣2c=7n（ n為自然數 ），則10n+b=7n，進而表示出，即可得出答案；

（2）首先設m+kn=13a，10m+n=13b，則原多位數為10m+n，進而得出b與a，k的關系，進而得出答案．

解：（1）設任意一個三位數為（均為自然數且），

依題意假設 ﹣2c=10a+b能被7整除，

不妨設﹣2c=7n（ n為自然數 ），則10n+b=7n，

=100a+10b+c=10（10a+b）+c=10（7n+2c）+c=7（10n+3c），

所以 能被7整除；

（2）以下出現的字母均為自然數，設個位之前及個位數分別為m、n，

依題意不妨設m+kn=13a，

則原多位數為10m+n，

依題意不妨設10m+n=13b，

聯立可得：b=10a﹣（10k﹣1），

則10k﹣1為13倍數，分別將 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=4 時符合條件．