2005年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
理科數學
YCY
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分． 第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分．
第I卷
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上，考生要認真核對答題卡粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．
3．考試結束，臨考員將試題卷、答題卡一并收回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k
次的概率 其中R表示球的半徑
1．設集合（ I B）= （ ）
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}
2．設復數：為實數，則x= （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3． “a=b”是“直線”的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
4．的展開式中，含x的正整數次冪的項共有 （ ）
A．4項 B．3項 C．2項 D．1項
5．設函數為 （ ）
A．周期函數，最小正周期為 B．周期函數，最小正周期為
C．周期函數，數小正周期為 D．非周期函數
6．已知向量 （ ）
C．120° D．150°
7．已知函數
，下面四個圖象中
8． （ ）
A．－1 B．1 C．－ D．
9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為 （ ）
A． B． C． D．
10．已知實數a, b滿足等式下列五個關系式
①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b
其中不可能成立的關系式有 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．在△OAB中，O為坐標原點，，則△OAB的面積達到最大值時， （ ）
A． B． C． D．
12．將1，2，…，9這9個數平均分成三組，則每組的三個數都成等差數列的概率為（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共15分，請將答案填在答題卡上.
13．若函數是奇函數，則a= .
15．如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，
AB=BC=，BB1=2，，
E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E
到F兩點的最短路徑的長度為 .
16．以下同個關于圓錐曲線的命題中
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；
③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線有相同的焦點.
其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知函數（a，b為常數）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4.
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）設k>1，解關于x的不等式；
18．（本小題滿分12分）
已知向量.
是否存在實數若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.
19．（本小題滿分12分）
A、B兩位同學各有五張卡片，現以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規定擲硬幣的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設表示游戲終止時擲硬幣的次數.
（1）求的取值范圍；
（2）求的數學期望E.
20．（本小題滿分12分）
如圖，在長方體ABCD―A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AD上移動.
（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離；
（3）AE等于何值時，二面角D1―EC―D的大小為.
21．（本小題滿分12分）
已知數列
（1）證明
（2）求數列的通項公式an.
22．（本小題滿分14分）
如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.
（1）求△APB的重心G的軌跡方程.
2005年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
一、選擇題
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空題
13． 14． 15． 16．③④
三、解答題
17．解：（1）將得
（2）不等式即為
即
①當
②當
③.
18．解：
19．解：（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則，可得：
（2）
20．解法（一）
（1）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）設點E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）過D作DH⊥CE于H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，
∴∠DHD1為二面角D1―EC―D的平面角.
設AE=x，則BE=2－x
解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，
，設平面ACD1的法向量為，則
也即，得，從而，所以點E到平面AD1C的距離為
（3）設平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依題意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=時，二面角D1―EC―D的大小為.
21．解：（1）方法一 用數學歸納法證明：
1°當n=1時，
∴，命題正確.
2°假設n=k時有
則
而
又
∴時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈N時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴；
2°假設n=k時有成立，
令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有：即
也即當n=k+1時 成立，所以對一切
（2）下面來求數列的通項：所以
,
又bn=－1，所以
22．解：（1）設切點A、B坐標分別為，
∴切線AP的方程為：
切線BP的方程為：
解得P點的坐標為：
所以△APB的重心G的坐標為 ，
所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：
（2）方法1：因為
由于P點在拋物線外，則
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：
即
所以P點到直線BF的距離為：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②當時，直線AF的方程：
直線BF的方程：
所以P點到直線AF的距離為：
，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
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