題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）在我校值周活動中，甲、乙等五名值周生被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名值周生．
(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率；
(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；
(3)設隨機變量X為這五名值周生中參加A崗位服務的人數，求X的分布列及期望．
（本小題滿分12分）
為了加快經濟的發展，某市選擇A、B兩區作為龍頭帶動周邊地區的發展，決定在A、B兩區的周邊修建城際快速通道，假設A、B兩區相距
個單位距離，城際快速通道所在的曲線為E，使快速通道E上的點到兩區的距離之和為4個單位距離.
（Ⅰ）以線段AB的中點O為原點建立如圖所示的直角坐標系，求城際快速通道所在曲線E的方程；
（Ⅱ）若有一條斜率為
的筆直公路l與曲線E交于P，Q兩點，同時在曲線E上建一個加油站M（橫坐標為負值）滿足
,求
面積的最大值．
（本小題滿分12分）
某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在C處進行該儀器的垂直彈射，觀測點A、B兩地相距100米，
，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚
秒，A地測得該儀器在A、B、C三地位于同一水平面上，至最高點H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH（聲音的傳播速度為340米/秒）
（本小題滿分12分）
在一次體操選拔賽中，教練組設置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有A和B兩個動作．比賽時每位運動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運動員的成績．
假設每個運動員完成每個系列中的兩個動作的得分是相互獨立的．根據賽前訓練統計數據，某運動員完成甲系列和乙系列的情況如下表：
表1：甲系列 表2：乙系列
|
|
現該運動員最后一個出場，之前其他運動員的最高得分為115分．
（Ⅰ）若該運動員希望獲得該項目的第一名，應選擇哪個系列？說明理由，并求其獲得第一名的概率；
（Ⅱ）若該運動員選擇乙系列，求其成績
的分布列及其數學期望
．
（本小題滿分12分）
如圖：
正在海上A處執行任務的漁政船甲和在B處執行任務的漁政船乙，同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處，兩艘漁政船協調后立即讓
漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執行任務，漁政船甲航行30km到達D處時，收到新的指令另有重要任務必須執行，于是立即通知在B處執行任務的漁政船乙前去救援漁船丙（漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙），此時B、D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少距離才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救．
一、選擇題
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空題
13． 14． 15． 16．③④
三、解答題
17．解：（1）將得
（2）不等式即為
即
①當
②當
③.
18．解：
19．解：（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則，可得：
（2）
20．解法（一）
（1）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）設點E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）過D作DH⊥CE于H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，
∴∠DHD1為二面角D1―EC―D的平面角.
設AE=x，則BE=2－x
解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，
，設平面ACD1的法向量為，則
也即，得，從而，所以點E到平面AD1C的距離為
（3）設平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依題意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=時，二面角D1―EC―D的大小為.
21．解：（1）方法一 用數學歸納法證明：
1°當n=1時，
∴，命題正確.
2°假設n=k時有
則
而
又
∴時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈N時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴；
2°假設n=k時有成立，
令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有：即
也即當n=k+1時 成立，所以對一切
（2）下面來求數列的通項：所以
,
又bn=－1，所以
22．解：（1）設切點A、B坐標分別為，
∴切線AP的方程為：
切線BP的方程為：
解得P點的坐標為：
所以△APB的重心G的坐標為 ，
所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：
（2）方法1：因為
由于P點在拋物線外，則
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：
即
所以P點到直線BF的距離為：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②當時，直線AF的方程：
直線BF的方程：
所以P點到直線AF的距離為：
，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
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