Question

我國首個月球探測計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個階段實(shí)施，大約用十年左右時間完成，這極大的提高了同學(xué)們對月球的關(guān)注程度．以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識設(shè)計(jì)的兩個問題，請你
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動近似看做是勻速圓周運(yùn)動．試求出月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑．
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回到拋出點(diǎn)．已知月球半徑為R月，萬有引力常量為G．試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，月球的軌道半徑為r，則：G

Mm

r2

=m

4π2r

T2

…①
在地球表面有：
m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②式得
    r=

3	gR2T2 4π2

  ③
（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g_月，由平拋運(yùn)動規(guī)律得：
   t=

2v0

g月

…④
解得  g_月=

2v0

t

…⑤
在月球表面有：
  m′g_月=G

Mm′

R2

…⑥
由⑤⑥式得：
  M_月=

2v0R2

Gt

答：
（1）月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑為

3	gR2T2 4π2

．
（2）月球的質(zhì)量M_月為

2v0R2

Gt

．