Question

（2009?巢湖一模）我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年左右時間完成，這極大的提高了同學們對月球的關注程度．以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請你解答：
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，且把月球繞地球的運動近似看做是勻速圓周運動．試求出月球繞地球運動的軌道半徑．
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經過時間t，小球落回到拋出點．已知月球半徑為R月，萬有引力常量為G．試求出月球的質量M_月．

Answer 1

分析：（1）根據月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）先根據豎直上拋運動的知識求出月球表面的重力加速度，再根據月球表面重力等于萬有引力列式求解．

解答：解：（1）設地球的質量為M，月球的軌道半徑為r，則：G

Mm

r2

=m

4π2r

T2

…①
在地球表面有：
m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②式得
    r=

3	gR2T2 4π2

  ③
（2）設月球表面的重力加速度為g_月，由平拋運動規律得：
   t=

2v0

g月

…④
解得  g_月=

2v0

t

…⑤
在月球表面有：
  m′g_月=G

Mm′

R2

…⑥
由⑤⑥式得：
  M_月=

2v0R2

Gt

答：
（1）月球繞地球運動的軌道半徑為

3	gR2T2 4π2

．
（2）月球的質量M_月為

2v0R2

Gt

．

點評：本題關鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，運用平拋運動的知識求出重力加速度，以及衛星所受的萬有引力提供向心力進行列式求解．