Question

【題目】如圖所示，直角坐標系xOy在豎直平面內，整個區域內有垂直于坐標系平面向外、磁感應強度為B的勻強磁場，y軸左側還有場強為E=、方向豎直向上的勻強電場。在第一象限內有一傾角為30°的光滑斜面。某時刻從斜面上的P點由靜止釋放一個質量為m、電荷量為q的小球。該小球剛好在O點處離開斜面，已知重力加速度為g。

（1）求O、P兩點間的距離L；

（2）求小球離y軸的最遠距離xm和小球從O點至第一次打到y軸的時間t；

（3）如果在y軸上有一平板，使得小球打到平板后反彈的速度大小變為原來的（水平分速度反向，豎直分速度方向不變）。試求小球離開O點后第N次打到y軸時的縱坐標yN以及最終打在y軸上的坐標ym。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3） ，

【解析】（1）小球在斜面上運動過程中受力如圖1所示

小球在O點離開斜面，即洛倫茲力大小等于重力在垂直斜面方向的分力大小，有：

qvB=mgcos 30°

此運動過程中，v2=2aL，a=gsin 30°

解得L=

（2）根據洛倫茲力方向，由左手定則可知小球帶正電，小球在電場中受到的電場力大小為F=qE=mg、方向豎直向上，與重力平衡，所以小球在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動。軌跡如圖2所示

由qvB=

可得r==

由幾何關系有，小球離y軸的最遠距離xm=(1+sin 30°)r=

運動周期T==

由幾何關系可知，t==

（3）由幾何關系可知，小球第一次打在y軸上時的坐標為y1=

第1次小球被平板反彈后，小球的速度方向與水平方向成30°斜向左下方，再次在洛倫茲力作用下做圓周運動，軌跡如圖3所示

速度大小變為原來的，由r=可知，半徑變為r1=

第2次打在y軸上時的坐標為y2=+

第N次打在y軸上時的坐標為yN=++…+

由等比數列求和公式可得yN==

當N→∞時，得到最終打在y軸上的坐標ym=