Question

【題目】如圖所示，在真空中，半環狀 MAQPN區域內存在勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度大小為B=0.5T。外環的半徑R1=16cm，內環的半徑R2=4cm，外環和內環的圓心為O，MOQ水平，沿OQ放置有照相底片。有一線狀粒子源放在MN正下方(圖中未畫出)，不斷放出初速度均為v0=1.6×106m/s的同種正粒子，并通過MN沿與磁場垂直的方向豎直進入勻強磁場中，最后打到照相底片上，經檢驗底片上僅有PQ區域均被粒子打到。不考慮粒子間的相互作用，粒子重力忽略不計。

(1)求粒子的比荷；

(2)若照相底片沿OA放置，求底片上被粒子打到的區域的長度；

(3)撤去線狀粒子源和照相底片，若該粒子垂直進入磁場的速度大小和方向可以任意改變。現要求該粒子從M點進入磁場，從Q點離開磁場(該粒子中途未離開磁場區域)，而且在磁場中運動的時間最短，求該粒子從M點進入磁場的速度大小以及速度方向與MN夾角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）（2）2cm（3）5.44×106 m/s； （或0.47）

【解析】

（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出粒子的比荷。

（2）作出粒子運動軌跡，根據幾何知識求出區域長度。

（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，求出粒子的最大軌道半徑，然后應用牛頓第二定律求出速度大小與方向。

（1）如圖所示，設粒子的質量為m，電荷量為q，在磁場中做勻速圓周運動的半為R，則由牛頓第二定律有 ①

依題意有 ②

聯立①②代入數據解得 ③

（2）若照相底片沿OA放置，則底片上被粒子打到的區域長度為CD的長度，如圖所示。在△O1OC中，由勾股定理有 ④

CD = R–OC ⑤

聯立代入數據解得CD = 2cm ⑥

（3）要使該粒子從M點進入磁場，從Q點離開磁場，且在磁場中運動的時間最短，則圓弧所對的圓心角應最小，因弦長一定，則圓弧的半徑應最大，即滿足要求的圓弧應與內環相切，如圖所示。設粒子的半徑為Rm，速度大小為v，速度方向與MN夾角為θ，由牛頓第二定律有

⑦

由圖中幾何關系有 ⑧

⑨

聯立③⑦⑧⑨代入數據解得 v = 5.44×106 m/s

（或0.47）