Question

2007年4月24日，瑞士天體物理學家斯蒂芬妮?尤德里（右）和日內瓦大學天文學家米歇爾?邁耶（左）拿著一張繪制圖片，圖片上顯示的是在紅矮星581（圖片右上角）周圍的行星系統．這一代號“581c”的行星正圍繞一顆比太陽小、溫度比太陽低的紅矮星運行，現測得“581c”行星的質量為M₂、半徑為R₂．已知地球的質量為M₁、半徑為R₁．則：
（1）若地球表面的重力加速度為g，求該行星表面的重力加速度；
（2）若宇宙飛船在地面附近沿近地圓軌道做勻速圓周運動的周期為T，求宇宙飛船在距離“581c”行星表面為h的軌道上繞該行星做勻速圓周運動的線速度V．

Answer 1

分析：此題中把581C行星與地球類比，并且忽略了行星和地球的自轉，用萬有引力與星球表面的重力相等即可．

解答：解：（1）設地球表面有一物體質量為m₁，581C表面有一物體質量為m₂，581C表面重力加速度為g^′
對地球表面的物體有萬有引力得：

GM1m1

R 2 1

=m1g   ①
對581C表面的物體有萬有引力得：

GM2m2

R 2 2

=m2g′   ②
由①②兩式取比值整理得：g′=

M2 R 2 1 g

M1 R 2 2

答：該星球表面的重力加速度為  g′=

M2 R 2 1 g

M1 R 2 2

（2）繞地球做圓周運動的宇宙飛船周期為T，
由萬有引力提供向心力得：

GM1

R 2 1

=

4π2R1

T2

=g         ③
繞581C做勻速圓周運動的線速度V，
由萬有引力提供向心力得：

GM2

(R2+h)2

=v2(R2+h)     ④
581C星球的黃金代換：GM2=g′

R

2 2

                    ⑤
由③④⑤解得：v=

2πR1

T(R2+h)

M2R1 M1(R2+h)

答：宇宙飛船在距離“581c”行星表面為h的軌道上繞該行星做勻速圓周運動的線速度v=

2πR1

T(R2+h)

M2R1 M1(R2+h)

點評：萬有引力提供向心力的題目中，經常會出現兩個星球類比的題目，關鍵是要大膽列式，小心求解．