Question

【題目】一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O。筒內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷，N板帶等量負電荷。質量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場中。粒子與圓筒發生兩次碰撞后仍從S孔射出，設粒子與圓筒碰撞過程中沒有動能損失，且電荷量保持不變，在不計重力的情況下，求：

（1）M、N間電場強度E的大小；

（2）圓筒的半徑R；

（3）保持M、N間電場強度E不變，僅將M板向上平移2d/3，粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放，粒子自進入圓筒至從S孔射出期間，與圓筒的碰撞次數n。

Answer 1

【答案】（1） （2）　 （3）n = 3

【解析】（1）從M板邊緣的P處由靜止釋放到N板的小孔S處的過程中，因粒子重力不計，只有受電場力作用，且做正功，設粒子經電場加速后的速度為v，兩板間的電壓為U，由動能定理得：

由勻強電場中電勢差與電場強度的關系得：U=Ed，聯立上式可得：。

（2）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力。由題設，帶電粒子每次與圓筒碰撞過程中發生碰撞時電量和能量都不損失，每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，根據對稱性，畫出粒子運動的軌跡如圖，運用幾何關系做出軌跡圓圓心為，設軌跡圓半徑為r，第一次碰撞點為A，由于粒子與圓筒發生兩次碰撞又從S孔射出，因此，，SA弧所對的圓心角。

在中，由幾何關系得

粒子運動過程中洛倫茲力充當向心力，由牛頓第二定律，得

以上各式聯立解得：

（3）保持M、N間電場強度E不變，M板向上平移后，設板間電壓為，則

設粒子進入S孔時的速度為，由可以看出

于是得　

設粒子做圓周運動的半徑為，則　

設粒子從S到第一次與圓筒碰撞期間的軌跡所對圓心角為θ，比較和兩式可得：，可見　，

根據圓的對稱性可知，粒子須經過四個這樣的圓弧才能從S孔射出，粒子軌跡如圖。故n=3

此題易錯點：對帶電粒子在磁場中運動的幾何關系分析不清。