Question

如圖所示，傾角為30°的足夠長光滑斜面下端與一足夠長光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過渡，斜面上距水平面高度分別為h₁＝5m和h₂＝0.2m的兩點上，各靜置一小球A和B。某時刻由靜止開始釋放A球，經過一段時間t后，再由靜止開始釋放B球。g取10m/s²，求：

（1）為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過多少?
（2）若A球從斜面上h₁高度處自由下滑的同時，B球受到恒定外力作用從C點以加速度a由靜止開始向右運動，則a為多大時，A球有可能追上B球？

Answer 1

1) t＝1.6s    2)a=2.5m/s²

試題分析：1）兩球在斜面上下滑的加速度相同，設加速度為a，根據牛頓第二定律有：
mgsin30º＝ma，    
解得：a＝5m/s²
設A、B兩球下滑到斜面底端所用時間分別為t₁和t₂，
則：h₁/sin30⁰=at²₁/2, h₂/sin30⁰=at²₂/2,
解得：t₁＝2s，t₂＝0.4s  
為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過 t＝t₁－t₂＝1.6s     
(2)設A球在水平面上再經t₀追上B球，則：a(t₁+t₂)²/2=gsin30⁰ t₁ t₀
A球要追上B球，方程必須有解，Δ≥0，解得a≤gsin30⁰/2,即a≤g/4=2.5m/s²