Question

【題目】如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g。

(1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；

(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向。

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時(shí)，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下， ； 當(dāng)ω＝(1－k)ω0時(shí)，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上，

【解析】試題分析：(1) 若ω=ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大小；

(2) 當(dāng)ω＞ω0，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大小．當(dāng)ω＜ω0，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大小。

(1) 對(duì)小物塊受力分析可知：

FN cos 60°＝mg

FN sin 60°＝mR′ω02

R′＝Rsin 60°

由以上各式解得：

；

(2) 由于0＜k1，

當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時(shí)，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下

由受力分析可知：

FN′cos 60°＝mg＋Ffcos 30°

FN′sin 60°＋Ffsin 30°＝mR′ω2

解得：

當(dāng)ω＝(1－k)ω0時(shí)，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上．

由受力分析和幾何關(guān)系知：

FN″cos 60°＋Ff′sin 60°＝mg

FN″sin 60°－Ff′cos 60°＝mR′ω2

解得：。

點(diǎn)晴：解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解。