Question

（18分）如圖所示，半徑為的 1/4光滑圓弧軌道最低點D與水平面相切，在D點右側處用長為的細繩將質量為的小球B（可視為質點）懸掛于O點，小球B的下端恰好與水平面接觸，質量為的小球A（可視為質點）自圓弧軌道C的正上方H高處由靜止釋放，恰好從圓弧軌道的C點切入圓弧軌道，已知小球A與水平面間的動摩擦因數,細繩的最大張力,重力加速度為，試求：
 
（1）若，小球A到達圓弧軌道最低點D時所受軌道的支持力；
（2）試討論在什么范圍內，小球A與B發生彈性碰撞后細繩始終處于拉直狀態。

Answer 1

（1），方向豎直向上。（2）和

試題分析: （1）設小球運動到D點的速度為
對小球在從靜止上落到D點時，由機械能守恒定律：   ①
在D點由牛頓第二定律：           ②
由①②得，方向豎直向上。
（2）設A與B碰前速度為，碰后A的速度為，B的速度為，
則A與B碰撞過程有：         ③
彈性碰撞滿足機械能守恒：           ④
由③④得A、B在碰撞過程中會發生速度交換。，      ⑤
A在由靜止到碰撞前過程由動能定理有：  ⑥
若碰后B能在豎直平面內做完整的圓周運動，則細繩始終處于拉直狀態，設小球B在最高處速度為，
則在最高處有：，得           ⑦
小球B在最低點時細繩受力最大，則有        ⑧
小球B從最低點到最高點由動能定理有： ⑨
聯立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：             ⑩
若A與B碰后B擺動的最大高度小于，則細繩也始終處于拉直狀態，
則根據機械能守恒有：        ?
要保證A與B能發生碰撞，則          ?
聯立①④⑤⑥??解得：        ?
故小球A與B發生彈性碰撞后細繩始終處于拉直狀態的范圍：和