Question

如圖所示，一根長為l的細剛性輕桿的兩端分別連接小球a和b，它們的質量分別為m_a和m_b．桿可繞距a球為

1

4

l處的水平定軸O在豎直平面內轉動．初始時桿處于豎直位置．小球b幾乎接觸桌面．在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細桿放著一個質量為m的立方體勻質物塊，圖中ABCD為過立方體中心且與細桿共面的截面．現(xiàn)用一水平恒力F作用于a球上，使之繞O軸逆時針轉動，求當a轉過α角時小球b速度的大小．設在此過程中立方體物塊沒有發(fā)生轉動，且小球b與立方體物塊始終接觸沒有分離．不計一切摩擦．

Answer 1

如圖所示，v_b表示a球轉α角b球瞬時速度的大小，v表示此時立方體速度的大小，
則有v_bcosα=v（1）
由b球與正立方體的接觸是光滑的，相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號相反，做功的總和為0．因此在整個過程中推力F所做的功應等于球a、b和正立方體機械能的增量．現(xiàn)用v_a表示此a球速度的大小，因a、b角速度相同，oa=

l

4

，ob=

3l

4

，所以得
va=

vb

3

（2）
根據功能原理可知
F?

l

4

sinα=

1

2

ma

v

2a

-mag(

l

4

-

l

4

cosα)+

1

2

mb

v

2b

+mbg(

3l

4

-

3l

4

cosα)+

1

2

mv2 （3）
將（1）、（2）式代入（3）可得
F?

l

4

sinα=

1

2

ma(

vb

3

)2-mag

l

4

(1-cosα)+

1

2

mb

v

2b

+mbg?

3l

4

(1-cosα)+

1

2

m(vbcosα)2

解得：vb=

9l(Fsinα+(ma-3mb)g(1-cosα)) 2ma+18mb+18mcos2α

答：當a轉過α角時，小球b速度的大小為：vb=

9l(Fsinα+(ma-3mb)g(1-cosα)) 2ma+18mb+18mcos2α