Question

（10分）如圖所示，AB是一段位于豎直平面內的弧形軌道，高度為h，末端B處的切線沿水平方向。一個質量為m的小物體P（可視為質點）從軌道頂端處A點由靜止釋放，滑到B點時以水平速度v飛出，落在水平地面的C點，其軌跡如圖中虛線BC所示。已知P落地時相對于B點的水平位移OC=l，重力加速度為g，不計空氣阻力的作用。

（1）請計算P在弧形軌道上滑行的過程中克服摩擦力所做的功；
（2）現于軌道下方緊貼B點安裝一水平傳送帶，傳送帶右端E輪正上方與B點相距。先將驅動輪鎖定，傳送帶處于靜止狀態。使P仍從A點處由靜止釋放，它離開B點后先在傳送帶上滑行，然后從傳送帶右端水平飛出，恰好仍落在地面上C點，其軌跡如圖中虛線EC所示。若將驅動輪的鎖定解除，并使驅動輪以角速度ω順時針勻速轉動，再使P仍從A點處由靜止釋放，最后P的落地點是D點（圖中未畫出）。已知驅動輪的半徑為r，傳送帶與驅動輪之間不打滑，且傳送帶的厚度忽略不計。求：
①小物塊P與傳送帶之間的動摩擦因數；
②若驅動輪以不同的角速度勻速轉動，可得到與角速度ω對應的OD值，討論OD的可能值與ω的對應關系。

Answer 1

（1）；
（2）①；
②當0﹤ω﹤時，OD=l；當ω﹥時，OD=（；當﹤ω﹤時，OD=。

試題分析：（1）小物塊從A到B的過程中有重力和摩擦力對其做功，
故根據動能定理有：（2分）
解得（1分）
（2）① 需要先求出物塊在E點的速度；
沒有安裝傳送帶時，小物塊從B到C的過程，做平拋運動，水平方向有l=vt；
安裝傳送帶后，小物塊從E到C的過程沿水平方向有l/2=v_Et，二者的豎直高度相等，落下時所用的時間相等，故聯立以上兩個方程，解得v_E=（1分）
設小物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，小物塊從B到E的過程，根據動能定理有
- （2分） 
解得（1分）
②（a）當傳送帶的速度0﹤v_帶=ωr﹤v_E，
即0﹤ω﹤時，物體在傳送帶上一直做勻減速運動，物體離開傳送帶時的速度為v_E，則OD=l…（1分）
（b）如果傳送帶的速度較快，物體在傳送帶上一直加速而未與傳送帶共速，則物體的加速度始終為a=設物體離開傳送帶時的速度為v_max，
根據運動學公式有解得v_max=
當傳送帶的速度v_帶=ωr﹥，
即ω﹥時，物體離開傳送帶點時的速度為v_max，
則OD=+t=（…（1分）
（c）當傳送帶的速度v_E﹤v_帶=ωr﹤v_max，
即﹤ω﹤時，物體離開傳送帶點時的速度為v_帶=ωr，則OD=+ωrt=…（1分）