Question

如圖，一傾角為θ=30°的足夠長固定光滑斜面底端有一與斜面垂直的擋板M，物塊A、B之間用一與斜面平行的輕質彈簧連接且靜止在斜面上．現用外力沿斜面向下緩慢推動物塊B，當彈簧具有5J的彈性勢能時撤去推力，釋放物塊B．已知物塊A、B的質量分別為5kg和10kg，彈簧的彈性勢能的表達式為EP=

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kx2，其中彈簧的勁度系數為k=1000N/m，x為彈簧的形變量，g=10m/s²．求
（1）撤掉外力時，物塊B的加速度大�。�
（2）外力在推動物塊B的過程中所做的功；
（3）試判斷物塊A能否離開擋板M？若A能離開擋板M，求出物塊A剛離開擋板M時，物塊B的動能；若A不能離開擋板M，求出物塊A與擋板M之間的最小作用力．

Answer 1

（1）彈簧具有的勢能為E_P=5J，
EP=

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kx12=

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×1000x₁²=5，
解得，彈簧的壓縮量：x₁=0.1m，
撤掉外力時，由牛頓第二定律得：
kx₁-m_Bgsinθ=m_Ba，
解得，物塊B的加速度：a=5m/s²；
（2）物塊B靜止在斜面上時，
由平衡條件得：kx₀=m_Bgsinθ，
解得：x₀=0.05m，
外力推動物塊B所做的功：
W=EP-

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kx02-mBgsinθ(x1-x0)，
代入數據解得：W=1.25J；
（3）假設物塊A剛好離開擋板M，
彈簧的伸長量x₂kx₂=m_Agsinθ，
解得：x₂=0.025m，
此時彈簧的彈性勢能和重力勢能的增加量之和：
E=

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kx22+mBgsinθ(x1+x2)=6.5625J＞E_P=5J，
故物塊A未離開擋板M．
設物塊B上滑到速度為零時，彈簧的形變量為x₃
若彈簧處于壓縮狀態：EP=

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kx32+mBgsinθ(x1-x3)，
x₃₁=0，x₃₂=0.1m（不合理舍掉），
若彈簧處于伸長狀態：EP=

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kx32+mBgsinθ(x1+x3)
解得：x₃₁=0，x₃₂=-0.1m（不合理舍掉），
綜上可得，物塊B的速度為零時，彈簧恰好處于原長，
此時物塊A對擋板的作用力最小，作用力F=m_Agsinθ=25N；
答：（1）撤掉外力時，物塊B的加速度為5m/s²；
（2）外力在推動物塊B的過程中所做的功為1.25J；
（3）物塊A不能離開擋板M；物塊A與擋板M之間的最小作用力為25N．