Question

【題目】“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接及“蛟龍”號下潛突破7000米入選近年中國科技進展新聞。已知地球半徑為R，平均密度為ρ，把地球看做質量分布均勻的球體(質量分布均勻的球殼對球內任一質點的萬有引力為零)，忽略地球自轉，“蛟龍”號下潛深度為d，“”軌道距離地面高度為h，引力常量為G。求：

（1）“天宮一號”所在處重力加速度大小？

（2）“蛟龍”號所在處重力加速度與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根據萬有引力提供向心力為：

“天宮一號”的加速度為： 又

可得

（2）令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：，由于地球的質量為：，所以重力加速度的表達式可寫成：g＝πGρR。根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力，故井底的重力加速度為：g2＝πGρ(Rd)，所以有： 。