Question

水平地面上有一個半徑為R的圓形軌道，豎直平面上邊中點P離地面高為h，P正下方一點P′位于COA連線上且與軌道圓心O的距離為L（L＞R），如圖所示．現從P點水平拋出質量為m的小球，（小球與小車均視為質點，空氣阻力不計）．求：
（1）使其擊中停在軌道B點的小車（∠AOB=90°），則小球的初速度v₀為多大？
（2）若小車做勻速圓周運動順時針經A點時小球拋出，為使小球能在B處擊中小車，小車的速率v應滿足的條件．
（3）若在P、C之間以水平射程為（L+R）的平拋運動軌跡制成一光滑軌道，現將質量為m的小球套于其上，由靜止開始從軌道P端滑下，重力加速度為g．則當其到達軌道C時小球重力的功率多大？

Answer 1

分析：（1）沙袋從P點開始做的都是平拋運動，根據在豎直方向上的自由落體運動，可以求得運動的時間，水平方向做勻速運動，根據v₀=

S

t

即可求解；
（2）根據等時性可以求得小車運動的時間，但是要注意周期性，再根據圓周運動的速度公式即可求解；
（3）下滑過程沙袋的機械能守恒，根據機械能守恒定律及幾何關系即可求解．

解答：解：（1）沙袋從P點被拋出后做平拋運動，設它的落地時間為t，則
h=

1

2

gt2得，t=

2h g

，
拋到B點發生的水平位移為S=

L2+R2

，
v₀=

S

t

解得：v0=

L2+R2

g 2h

（2）根據時間相等的條件t=

T

4

+nT=

2h g

 小車速度v_車=

2πR

T

求得v_車=

(1+4n)

2

πR

g 2h

  （n=0，1，2，…）         
（3）下滑過程小球的機械能守恒，mgh=

1

2

mvC2，解得V_C=

2gh

設v_C與水平方向夾角為θ，
由平拋運動規律得：tanθ=

vy

vx

=

2y

x

，
  sinθ=

2y

x2+4y2

則重力的瞬時功率 PG=mgvcsinθ=mg?

2gh

?

2h

(L+R)2+4h2

=2mgh

2gh (L+R)2+4h2

答：（1）使其擊中停在軌道B點的小車（∠AOB=90°），則小球的初速度v₀為

L2+R2

g 2h

；
（2）若小車做勻速圓周運動順時針經A點時小球拋出，為使小球能在B處擊中小車，小車的速率v應滿足v_車=

(1+4n)

2

πR

g 2h

 （n=0，1，2，…）．
（3）當其到達軌道C時小球重力的功率為2mgh

2gh (L+R)2+4h2

．

點評：本題是對平拋運動規律的考查，在分析第二問的時候，要考慮到小車運動的周期性，小車并一定是經過

1

4

圓周，也可以是經過了多個圓周之后再經過

1

4

圓周后恰好到達B點，這是同學在解題時經常忽略而出錯的地方．