Question

水平地面上有一個半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺邊緣上P點在地面上P′點的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L（L＞R），P′AOC各點均在同一水平直線上，如圖所示．一輛小車以速率 v在跑道上順時針運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，小沙袋、小車均可視為質點．則
（1）若從P點水平拋出小沙袋，使其落入小車中，小沙袋被拋出時的初速度應滿足什么條件？
（2）若小車經過跑道上A點時（∠AOB=90°），現從P點瞄準B點以某一水平初速度拋出小沙袋，使其落入小車中，則小沙袋被拋出時的初速度V₁應滿足什么條件？小車的速率 v應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）沙袋從P點被拋出后做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，由高度h，求出時間．要使沙袋落入小車中，沙袋的水平位移大小應滿足：L-R≤x≤L+R，而x=v₀t，即可求出小沙袋被拋出時的初速度應滿足的條件．
（2）要使在小車經過B點時，小沙袋落入小車中，小沙袋的水平位移大小應為

L2+R2

，而平拋運動的時間不變，即可求出小沙袋被拋出時的初速度．在小沙袋做平拋運動的時間內，小車通過的路程可能為s=2π(n+

1

4

)R，由v=

s

t

求解小車的速率v．

解答：解：（1）沙袋從P點被拋出后做平拋運動，設它的落地時間為t、沙袋被拋出時的初速度為v₁，則
  h=

1

2

gt2
得 t=

2h g

L-R≤v₀t≤L+R
解得  

g(L-R)2 2h

≤v0≤

g(L+R)2 2h

．
（2）當沙袋落在B點時
h=

1

2

gt2
即

L2+R2

=v1t
小沙袋被拋出時的初速度為
  v1=

L2+R2

2h g

小車的速率為
  v=

2π(n+ 1 4 )R

t

（n=0、1、2…）
將t=

2h g

代入得
   v=2π(

1

4

+n)R

g 2h

（n=0、1、2…）
答：（1）小沙袋被拋出時的初速度應滿足的條件是

g(L-R)2 2h

≤v0≤

g(L+R)2 2h

．
（2）小沙袋被拋出時的初速度為v1=

L2+R2

2h g

，小車的速率v應滿足的條件是v=2π(

1

4

+n)R

g 2h

（n=0、1、2…）．

點評：本題要分別研究沙袋和小車的運動，關鍵是抓住兩個運動的聯系和小車運動的周期性．