Question

如圖所示，在水平軌道右側安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為l．水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態．小物塊A（可視為質點）從軌道右側以初速度v₀沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經水平軌道返回圓形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2

3

m/s，物塊A質量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．
（3）調節PQ段的長度l，A仍以v₀從軌道右側沖上軌道，當l滿足什么條件時，A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道．

Answer 1

（1）物塊A沖上圓形軌道后回到最低點速度為v₀=2

3

m/s，
與彈簧接觸瞬間，-μmgl=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

，
可得，物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小v1=2

2

m/s；
（2）A被彈簧以原速率v₁彈回，向右經過PQ段，
有

v

22

-

v

21

=-2μgl；解得A速度v₂=2m/s，
A滑上圓形軌道，有-mgh=0-

1

2

m

v

22

，
（也可以應用-μ×mgl-mgh=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

）
可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，符合實際．
（3）物塊A以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側，
有v

′

21

-

v

20

=-2μg×2l，
可得，A回到右側速度：v

′

21

=(12-8l)(m/s)2，
要使A能返回右側軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，
根據機械能守恒：

1

2

mv

′

21

=mgh聯立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足：

1

2

mv

′

21

=mg×2R+

1

2

mv

′

22

且m

v ′ 22

R

≥mg，
聯立得l≤0.25m，綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，
l滿足的條件是1.0m≤l＜1.5m或l≤0.25m；
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為2

2

m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度0.2m．
（3）A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道的條件是：1.0m≤l＜1.5m或l≤0.25m．